Да, это возможно. Такая форма временного размещения детей в семье называется «гостевая семья» или «гостевой режим». Как правило, на гостевой режим передаются дети старше 7 лет, для маленьких детей такая форма не применяется. Подробно об этой форме Вы можете прочитать здесь.

Для того чтобы получить право приглашать детей в гости, Вам надо сначала обратиться в органы опеки и попечительства по Вашему месту жительства и оформить разрешение на временное пребывание детей в Вашей семье. С этим разрешением Вы можете обращаться напрямую к руководителю детского учреждения, где проживает понравившийся Вам ребенок или откуда Вы хотели бы пригласить детей. Именно руководитель учреждения принимает решение о (не)возможности передачи конкретного ребенка в гости в Вашу семью.